Matematică Algebră
Numere complexe module si argument
Modulul și argumentul sunt două mărimi care definesc un număr complex în forma trigonometrică. Modulul este distanța de la origine la punctul reprezentat de număr în planul complex, iar argumentul este unghiul făcut cu axa reală pozitivă.
Modulul unui număr complex
- Definiție Pentru z = a + bi, modulul este |z| = √(a² + b²). Exemplu: z = 3 + 4i → |z| = √(9 + 16) = 5.
- Proprietăți |z| ≥ 0, |z| = 0 dacă z = 0, |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| pentru z₂ ≠ 0.
- Interpretare geometrică Modulul este lungimea vectorului de la origine la punctul (a, b) în plan.
Argumentul unui număr complex
- 1 Pasul 1: Calculează argumentul principal Argumentul principal, notat arg(z), este unghiul θ ∈ [0, 2π) sau (-π, π]. Calcul: θ = arctan(b/a), ajustat după cadran.
- 2 Pasul 2: Ajustează după cadran Dacă a > 0 și b > 0 (cadran I), θ = arctan(b/a). Dacă a < 0, adaugă π. Exemplu: z = -1 + i → θ = arctan(1/(-1)) + π = -π/4 + π = 3π/4.
- 3 Pasul 3: Forma trigonometrică z = |z|(cos θ + i sin θ). Exemplu: z = 1 + i → |z| = √2, θ = π/4 → z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Folosește forma trigonometrică pentru a înmulți sau împărți numere complexe mai ușor: înmulțirea adună argumentele, împărțirea le scade.