Matematică Algebră
Numere complexe in bacalaureat rezolvate
Numerele complexe în bacalaureat apar sub formă de exerciții care implică operații algebrice, reprezentare geometrică sau rezolvarea ecuațiilor. Ele se scriu z = a + bi, cu a,b∈ℝ și i² = -1.
Operații algebrice de bază
- Adunarea și scăderea: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i Exemplu: (3+2i) + (1-4i) = 4 - 2i.
- Înmulțirea: (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac-bd) + (ad+bc)i Exemplu: (2+i)(3-2i) = 6 - 4i + 3i - 2i² = 8 - i.
- Împărțirea: raționalizezi numitorul cu conjugatul Pentru (1+2i)/(3-i), înmulțești cu (3+i)/(3+i): rezultatul este (1+7i)/10.
Ecuații cu numere complexe
- Ecuații de forma az² + bz + c = 0, cu a,b,c∈ℝ Discriminantul Δ = b² - 4ac. Dacă Δ<0, soluțiile sunt z₁,₂ = (-b ± i√|Δ|)/(2a).
- Ecuații cu modul |z| = r, unde r≥0 Reprezintă cercul cu centrul în origine și raza r în planul complex.
- Exemplu numeric: rezolvă z² - 2z + 5 = 0 Δ = 4 - 20 = -16, deci z = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.
Exersează reprezentarea geometrică a numerelor complexe pe axele Re(z) și Im(z).