Matematică Algebră
Matrice asociata unei transformari liniare
Matricea asociată unei transformări liniare reprezintă transformarea într-o bază dată, permițând calculul valorilor prin înmulțirea matricelor. Dacă T: V → W este o transformare liniară, iar B și C sunt baze în V și W, matricea asociată are drept coloane coordonatele imaginilor vectorilor din B, exprimate în baza C.
Pași pentru construcția matricei
- 1 Alegerea bazelor Fixăm o bază B = {v₁, v₂, ..., vₙ} în spațiul de plecare V și o bază C = {w₁, w₂, ..., wₘ} în spațiul de sosire W.
- 2 Calculul imaginilor Aplicăm transformarea T fiecărui vector din baza B: T(v₁), T(v₂), ..., T(vₙ).
- 3 Scrierea coordonatelor Exprimați fiecare T(vⱼ) în baza C, obținând coordonatele (a₁ⱼ, a₂ⱼ, ..., aₘⱼ).
- 4 Formarea matricei Matricea asociată A are dimensiunea m×n, cu coloana j formată din coordonatele lui T(vⱼ): A = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ; a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ; ...; aₘ₁ aₘ₂ ... aₘₙ].
Exemplu numeric
- Transformarea liniară Fie T: ℝ² → ℝ² definită prin T(x,y) = (2x+y, x-3y). Bazele canonice B = C = {e₁=(1,0), e₂=(0,1)}.
- Calculul imaginilor T(e₁) = T(1,0) = (2,1); T(e₂) = T(0,1) = (1,-3).
- Matricea asociată Coordonatele în baza canonică sunt direct componentele: A = [[2, 1], [1, -3]].
În baze canonice, matricea asociată se obține direct din coeficienții transformării.