Matematică Algebră
Limite de functii cu infinit exercitii rezolvate clasa 11
Limitele de funcții cu infinit se calculează folosind reguli specifice pentru forme nedeterminate. Aceste limite evaluează comportamentul funcțiilor când argumentul tinde la ∞ sau -∞. Vom rezolva exerciții tipice cu pași detaliați.
Reguli de baza
- Limite la infinit Pentru funcții raționale, gradul numărătorului și numitorului determină limita. Exemplu: lim(x→∞) (3x²+2)/(x²+1) = 3/1 = 3, deoarece gradele sunt egale.
- Forme nedeterminate ∞/∞, 0·∞, ∞-∞. Pentru ∞/∞, factorizăm termenul de grad maxim. La lim(x→∞) (x³+1)/(2x³-x), factorizăm x³: = lim (1+1/x³)/(2-1/x²) = 1/2.
- Limite cu radicali Pentru lim(x→∞) √(x²+3x) - x, amplificăm conjugata: [√(x²+3x) - x][√(x²+3x) + x]/[√(x²+3x) + x] = (3x)/[√(x²+3x) + x].
Exercitiu rezolvat pas cu pas
- 1 Enunt Calculează: lim(x→∞) [√(4x²+1) - 2x].
- 2 Identificare Este o formă nedeterminată ∞-∞.
- 3 Amplificare Amplificăm cu conjugata: [√(4x²+1) - 2x][√(4x²+1) + 2x]/[√(4x²+1) + 2x] = (4x²+1 - 4x²)/[√(4x²+1) + 2x] = 1/[√(4x²+1) + 2x].
- 4 Calcul lim(x→∞) 1/[√(4x²+1) + 2x]. Factorizăm x la numitor: = lim 1/[x(√(4+1/x²) + 2)] = lim (1/x)/[√(4+1/x²) + 2] = 0/[√4+2] = 0.
Pentru ∞-∞, folosește mereu conjugata sau factorizarea.