Matematică Algebră
Limite de functii calcul cu L'Hopital
Regula lui L'Hôpital se aplică la limite de funcții de forma 0/0 sau ∞/∞. Ea spune că limita raportului a două funcții derivabile este egală cu limita raportului derivatelor lor, dacă aceasta există. Formula: dacă lim f(x)/g(x) are formă nedeterminată, atunci lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x).
Condiții de aplicare
- Forme nedeterminate Regula se aplică doar pentru 0/0 sau ∞/∞ când x → a (finit sau infinit). Exemplu: lim (sin x)/x când x→0 este 0/0.
- Derivabilitate Funcțiile f și g trebuie să fie derivabile într-o vecinătate a punctului a, cu g'(x) ≠ 0.
- Repetarea regulii Dacă lim f'(x)/g'(x) este tot nedeterminată, se poate aplica din nou regula derivând în continuare.
Exemplu de calcul
- 1 Identifică forma Calculează lim (e^x - 1)/x când x→0. e^0 - 1 = 0, numitorul 0, deci 0/0.
- 2 Derivă funcțiile f(x) = e^x - 1, f'(x) = e^x; g(x) = x, g'(x) = 1.
- 3 Aplică regula lim (e^x - 1)/x = lim e^x/1 = e^0 = 1.
Verifică întotdeauna forma nedeterminată înainte de a folosi regula lui L'Hôpital.