Matematică Algebră
Inversa unei matrice 3x3
Inversa unei matrice 3x3, notată A^(-1), este matricea care înmulțită cu A dă matricea identitate I. Există doar dacă determinantul lui A este nenul. Se calculează folosind matricea adjunctă și determinantul.
Pași de calcul
- 1 Calculează determinantul lui A Folosește regula lui Sarrus. Dacă det(A) = 0, matricea nu este inversabilă. Pentru A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]], calculează det(A) ca mai sus.
- 2 Găsește matricea adjunctă (transpusa cofactorilor) Pentru fiecare element, calculează complementul algebric (cofactorul) și aranjează-i într-o matrice, apoi transpune-o. Cofactorul lui a este (-1)^(1+1)*det([[e, f], [h, i]]) = e*i - f*h.
- 3 Împarte adjuncta la determinant A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A). Înmulțești fiecare element al matricei adjuncte cu 1/det(A).
- 4 Verifică rezultatul Înmulțește A cu A^(-1) și asigură-te că obții matricea identitate I = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]].
Exemplu numeric
- Matricea A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] det(A) = 1*(1*0 - 4*6) - 2*(0*0 - 4*5) + 3*(0*6 - 1*5) = 1*(0-24) - 2*(0-20) + 3*(0-5) = -24 + 40 -15 = 1. Matricea adjunctă are elemente calculate din cofactori, de exemplu cofactorul lui 1 este det([[1,4],[6,0]]) = 1*0 - 4*6 = -24. După transpunere și împărțire la det=1, A^(-1) = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]].
- Verificare A * A^(-1) = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]], confirmând corectitudinea.
- Aplicație practică Inversa se folosește în rezolvarea sistemelor liniare: dacă AX = B, atunci X = A^(-1)B.
Asigură-te că determinantul este nenul înainte de a calcula inversa, altfel matricea este singulară.