Matematică Algebră
Injectivitatea surjectivitatea bijectivitatea functiilor
Injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea sunt proprietăți ale funcțiilor care descriu cum elementele domeniului și codomeniului sunt asociate. O funcție f: A → B este injectivă dacă elemente diferite din A au imagini diferite în B.
Definiții și condiții
- Funcție injectivă f(x₁)=f(x₂) implică x₁=x₂. Exemplu: f(x)=2x+3 este injectivă pe R.
- Funcție surjectivă Pentru orice y din B, există x din A astfel încât f(x)=y. Exemplu: f(x)=x³ este surjectivă pe R.
- Funcție bijectivă Este atât injectivă, cât și surjectivă. Exemplu: f(x)=x+1 pe R este bijectivă.
Metode de verificare
- 1 Testul injectivității Rezolvă ecuația f(x₁)=f(x₂). Dacă obții x₁=x₂, funcția este injectivă. Pentru f(x)=x² pe [0,∞), din x₁²=x₂² rezultă x₁=x₂.
- 2 Testul surjectivității Rezolvă ecuația f(x)=y în raport cu x. Dacă pentru orice y din B există soluție, funcția este surjectivă. La f(x)=2x pe R, din 2x=y obținem x=y/2, deci surjectivă.
- 3 Exemplu numeric Pentru f: {1,2} → {3,4} definită prin f(1)=3, f(2)=4, funcția este bijectivă.
Verifică injectivitatea cu ecuații și surjectivitatea cu rezolvarea în necunoscuta x.