Matematică Algebră
Inecuatii logaritmice rezolvate
Inecuațiile logaritmice sunt inegalități cu logaritmi, de forma logₐ(x) > b. Rezolvarea implică condiții de existență (argumentul >0) și folosirea proprietăților funcțiilor logaritmice, cu atenție la baza a>0, a≠1.
Pași pentru rezolvarea inecuațiilor logaritmice
- Stabilirea condițiilor de existență Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv: pentru logₐ(f(x)), avem f(x)>0.
- Aplicarea proprietăților logaritmilor Dacă baza a>1, funcția logaritmică este crescătoare: logₐ(x) > logₐ(y) implică x > y. Dacă 0<a<1, este descrescătoare.
- Rezolvarea inecuației algebrice După eliminarea logaritmilor, rezolvă inecuația obținută și intersectează cu condițiile de existență.
Exemple rezolvate pas cu pas
- 1 Exemplu 1: Rezolvă log₂(x) > 3. Pas 1: Condiție: x>0. Pas 2: Scrie 3 ca logaritm: 3=log₂(8). Pas 3: Baza 2>1, deci x > 8. Pas 4: Soluția este x>8.
- 2 Exemplu 2: Rezolvă log₁/₂(x-1) ≤ 2. Pas 1: Condiție: x-1>0, deci x>1. Pas 2: Scrie 2 ca logaritm: 2=log₁/₂(1/4). Pas 3: Baza 1/2 este între 0 și 1, deci x-1 ≥ 1/4, adică x ≥ 1.25. Pas 4: Intersectează cu x>1: x ≥ 1.25.
- 3 Exemplu 3: Rezolvă log₃(x²-4) > 1. Pas 1: Condiție: x²-4>0, deci x<-2 sau x>2. Pas 2: Scrie 1 ca logaritm: 1=log₃(3). Pas 3: Baza 3>1, deci x²-4 > 3, adică x² > 7. Pas 4: Rezolvă x²>7: x<-√7 sau x>√7. Pas 5: Intersectează cu condiția: x<-√7 sau x>√7.
Începe întotdeauna cu condițiile de existență pentru a evita soluții invalide.