Matematică Algebră
Functii injective surjective bijective exercitii
Funcțiile injective, surjective și bijective sunt tipuri de funcții definite prin proprietățile lor de mapare între mulțimi. O funcție f: A → B este injectivă dacă f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂, surjectivă dacă pentru orice y ∈ B există x ∈ A cu f(x) = y, și bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă. Exercițiile testează aceste proprietăți prin analiză algebrică sau grafică.
Exerciții pentru injectivitate
- Verificare algebrică Pentru f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3, presupune f(x₁) = f(x₂): 2x₁ + 3 = 2x₂ + 3 → 2x₁ = 2x₂ → x₁ = x₂, deci este injectivă.
- Contraexemplu Pentru f: ℝ → ℝ, f(x) = x², f(1) = f(-1) = 1 dar 1 ≠ -1, deci nu este injectivă.
- Test grafic O funcție este injectivă dacă orice dreaptă orizontală intersectează graficul cel mult o dată.
Exerciții pentru surjectivitate
- Verificare algebrică Pentru f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3, ia y ∈ ℝ și rezolvă 2x + 3 = y → x = (y - 3)/2 ∈ ℝ, deci este surjectivă.
- Contraexemplu Pentru f: ℝ → ℝ, f(x) = x², y = -1 nu are soluție în ℝ, deci nu este surjectivă.
- Test grafic O funcție este surjectivă dacă orice dreaptă orizontală intersectează graficul cel puțin o dată.
Pentru a verifica bijectivitatea, asigură-te că funcția trece ambele teste: injectiv și surjectiv, adică fiecare y din codomeniu are exact un x din domeniu.