Matematică Algebră
Functii injective si surjective diferenta
O funcție injectivă (unu-la-unu) asociază fiecărui element din domeniu un element distinct în codomeniu, iar o funcție surjectivă (pe) acoperă întregul codomeniu. Diferența este că injectivitatea evită suprapuneri, iar surjectivitatea asigură acoperire completă.
Definiții și condiții
- Funcție injectivă f: A → B este injectivă dacă f(x1) = f(x2) implică x1 = x2. Exemplu: f(x) = 2x pe ℝ, deoarece 2x1 = 2x2 ⇒ x1 = x2.
- Funcție surjectivă f: A → B este surjectivă dacă pentru orice y ∈ B, există x ∈ A astfel încât f(x) = y. Exemplu: f(x) = x + 1 pe ℝ, deoarece orice y are preimaginea x = y - 1.
- Funcție bijectivă Este atât injectivă, cât și surjectivă, deci are inversă. Exemplu: f(x) = 3x pe ℝ.
Exemple comparative
- f(x) = x² pe ℝ Nu este injectivă (x² = (-x)²), nici surjectivă pe ℝ (nu acoperă numerele negative).
- f(x) = x² pe [0, ∞) Este injectivă (x1² = x2² ⇒ x1 = x2 pentru x ≥ 0) și surjectivă pe [0, ∞).
Verifică injectivitatea cu ecuații și surjectivitatea cu existența preimaginilor.