Matematică Algebră
Functii continue proprietati si exemple clasa 11
O funcție este continuă într-un punct dacă limita ei în acel punct există și este egală cu valoarea funcției. În clasa a 11-a, continuitatea se studiază pe intervale, cu proprietăți importante pentru analiză. De exemplu, f(x) = x² este continuă pe ℝ.
Proprietăți ale funcțiilor continue
- Adunarea și înmulțirea Dacă f și g sunt continue într-un punct, atunci f+g și f*g sunt continue acolo.
- Compunerea Dacă f este continuă în a și g este continuă în f(a), atunci g∘f este continuă în a.
- Teorema valorii intermediare O funcție continuă pe un interval închis [a, b] ia orice valoare între f(a) și f(b).
- Continuitate pe intervale O funcție este continuă pe un interval dacă este continuă în fiecare punct al intervalului.
Exemple de funcții continue și discontinue
- Funcții continue Polinoame (ex: f(x) = 3x³ - 2x + 1), funcții raționale (ex: f(x) = 1/(x-2), continuă pentru x≠2), funcții trigonometrice (ex: sin x).
- Funcții cu discontinuitate f(x) = 1/x are discontinuitate în x=0 (nedefinită). f(x) = {1 pentru x≥0, 0 pentru x<0} are salt în x=0.
- Exemplu numeric de verificare Pentru f(x) = (x²-4)/(x-2), simplifică: f(x) = x+2 pentru x≠2. În x=2, f(2) nu e definit, dar limita este 4, deci are discontinuitate evitabilă.
Verifică continuitatea calculând limitele în punctele critice, cum ar fi unde numitorul devine zero.