Matematică Algebră
Functii bijective injective surjective
O funcție f: A → B este injectivă dacă f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂, surjectivă dacă pentru orice y ∈ B există x ∈ A cu f(x) = y, și bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă. Aceste proprietăți determină inversabilitatea și comportamentul funcțiilor în analiză matematică.
Definiții și exemple
- Injectivitate (unu-la-unu) Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1; dacă 2x₁+1 = 2x₂+1, atunci x₁ = x₂.
- Surjectivitate (pe) Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = x³; pentru orice y ∈ ℝ, x = ³√y satisface f(x) = y.
- Bijectivitate Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x - 2; este atât injectivă (liniară nenulă) cât și surjectivă (imaginea = ℝ).
Metode de verificare
- Pentru injectivitate Rezolvă f(x₁) = f(x₂) și verifică dacă rezultă x₁ = x₂, sau studiază monotonia.
- Pentru surjectivitate Rezolvă ecuația f(x) = y în raport cu x și verifică dacă soluția aparține domeniului A pentru orice y ∈ B.
- Pentru bijectivitate Verifică ambele proprietăți; dacă f este strict monotonă și continuă pe un interval, poate fi bijectivă.
În exerciții, specifică întotdeauna domeniul și codomeniul, deoarece proprietățile depind de acestea.