Matematică Algebră
Functia de repartitie definitie
Funcția de repartiție, notată F(x), este o funcție care dă probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia valori mai mici sau egale cu x. Ea este definită ca F(x)=P(X ≤ x) și este fundamentală în teoria probabilităților.
Proprietăți esențiale
- Definiția formală Pentru o variabilă aleatoare X, funcția de repartiție F: R → [0,1] este F(x)=P({ω: X(ω) ≤ x}). Exemplu: dacă X este numărul de fețe la aruncarea unui zar, F(3)=P(X≤3)=3/6=0.5.
- Proprietăți matematice F este nedescrescătoare: dacă x₁<x₂, atunci F(x₁)≤F(x₂). Limitele: lim F(x)=0 când x→-∞ și lim F(x)=1 când x→∞. F este continuă la dreapta.
- Legătura cu densitatea Pentru variabile aleatoare continue cu densitate f, F(x)=∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Exemplu: dacă X are distribuție uniformă pe [0,1], atunci F(x)=x pentru x∈[0,1].
Exemplu cu variabilă discretă
- 1 Variabila aleatoare Fie X variabilă aleatoare care ia valorile 1, 2, 3 cu probabilitățile P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.5, P(X=3)=0.3.
- 2 Calculează F(x) F(x)=0 pentru x<1; F(x)=0.2 pentru 1≤x<2; F(x)=0.7 pentru 2≤x<3; F(x)=1 pentru x≥3.
- 3 Reprezentare grafică Graficul lui F este o funcție în trepte, cu salturi la x=1,2,3. Saltul la un punct x este egal cu P(X=x).
Folosește funcția de repartiție pentru a calcula probabilități cumulate, ca P(a<X≤b)=F(b)-F(a).