Matematică Algebră
Ecuatii trigonometrice rezolvate liceu
Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații care conțin funcții trigonometrice (sin, cos, tg, ctg) și se rezolvă folosind identități și proprietăți periodice. Soluțiile se exprimă adesea cu ajutorul lui k ∈ ℤ, datorită periodicității.
Tipuri comune de ecuații
- Ecuații de forma sin x = a Soluțiile: x = (-1)^k * arcsin a + kπ, k ∈ ℤ, cu condiția |a| ≤ 1. Exemplu: sin x = 1/2 => x = (-1)^k * π/6 + kπ.
- Ecuații de forma cos x = a Soluțiile: x = ± arccos a + 2kπ, k ∈ ℤ, pentru |a| ≤ 1. Exemplu: cos x = √2/2 => x = ± π/4 + 2kπ.
- Ecuații cu tg sau ctg Pentru tg x = a: x = arctg a + kπ. Pentru ctg x = a: x = arcctg a + kπ. Exemplu: tg x = 1 => x = π/4 + kπ.
Exemplu rezolvat pas cu pas
- 1 Pasul 1: Ecuația inițială Rezolvă: 2 sin x + 1 = 0 pe intervalul [0, 2π].
- 2 Pasul 2: Izolează funcția 2 sin x = -1 => sin x = -1/2.
- 3 Pasul 3: Aplică formula generală sin x = -1/2 => x = (-1)^k * (-π/6) + kπ = (-1)^(k+1) * π/6 + kπ.
- 4 Pasul 4: Găsește soluțiile în [0, 2π] Pentru k=0: x = -π/6 (nu e în interval). Pentru k=1: x = π/6 + π = 7π/6. Pentru k=2: x = -π/6 + 2π = 11π/6. Soluții: 7π/6, 11π/6.
Întotdeauna verifică domeniul de definiție, mai ales pentru tg și ctg unde numitorul nu poate fi zero.