Matematică Algebră
Ecuatii trigonometrice fundamentale rezolvate general
Ecuațiile trigonometrice fundamentale sunt sin x = a, cos x = a și tg x = a, unde a este un număr real. Rezolvarea lor implică găsirea tuturor unghiurilor x care satisfac ecuația, ținând cont de periodicitate. Soluțiile se exprimă adesea sub formă generală folosind mulțimi de unghiuri.
Formulele generale de rezolvare
- Pentru sin x = a, cu |a| ≤ 1 x = (-1)^k * arcsin a + kπ, unde k este număr întreg. Exemplu: sin x = 1/2 dă x = (-1)^k * π/6 + kπ.
- Pentru cos x = a, cu |a| ≤ 1 x = ± arccos a + 2kπ, unde k este număr întreg. Exemplu: cos x = √2/2 dă x = ± π/4 + 2kπ.
- Pentru tg x = a, cu a real x = arctg a + kπ, unde k este număr întreg. Exemplu: tg x = 1 dă x = π/4 + kπ.
- Cazuri particulare Pentru a=0, sin x=0 dă x=kπ, cos x=0 dă x=π/2+kπ, tg x=0 dă x=kπ.
Pași pentru rezolvarea unei ecuații trigonometrice
- 1 Pasul 1: Aduceți ecuația la forma fundamentală Simplifică expresia pentru a obține sin x=a, cos x=a sau tg x=a. De ex., 2 sin x - 1 = 0 devine sin x = 1/2.
- 2 Pasul 2: Aplicați formula generală corespunzătoare Folosește formulele de mai sus pentru a scrie soluțiile în funcție de k.
- 3 Pasul 3: Verificați domeniul de definiție Pentru tg x, excludeți valorile unde cos x=0 (x=π/2+kπ), deoarece funcția nu este definită acolo.
- 4 Exemplu complet Rezolvă cos x = -1/2. Soluția: x = ± arccos(-1/2) + 2kπ = ± 2π/3 + 2kπ.
Memorează formulele generale și verifică întotdeauna dacă a se încadrează în intervalul de valori posibile pentru sin și cos (-1 ≤ a ≤ 1).