Matematică Algebră
Ecuatii logaritmice cu baze diferite clasa 10
Ecuatiile logaritmice cu baze diferite se rezolva prin trecerea la aceeasi baza sau aplicarea proprietatilor logaritmilor. Aceste ecuatii contin necunoscuta in argumentul logaritmului si apar frecvent in problemele de bacalaureat. Vom analiza metodele principale de rezolvare.
Metode de rezolvare
- Trecerea la aceeasi baza Folosim formula de schimbare a bazei: logₐb = logₓb / logₓa. Exemplu: log₂(x+1) = log₄(3x) devine log₂(x+1) = log₂(3x) / log₂4 = log₂(3x) / 2.
- Aplicarea proprietatilor Utilizam logₐb = c ⇔ b = aᶜ sau logₐu = logₐv ⇔ u = v > 0. Pentru log₃(x) = log₉(2x-1), trecem la baza 3: log₃(2x-1)/log₃9 = log₃(2x-1)/2.
- Conditii de existenta Argumentul logaritmului trebuie > 0. Pentru log₂(x-3) = 1, avem x-3 > 0 ⇒ x > 3, apoi x-3 = 2¹ ⇒ x = 5.
Exemplu numeric complet
- 1 Enunt Rezolvați: log₃(x) + log₉(x+2) = 2.
- 2 Conditii x > 0 și x+2 > 0 ⇒ x > 0.
- 3 Rezolvare log₉(x+2) = log₃(x+2)/log₃9 = log₃(x+2)/2. Ecuația devine: log₃(x) + log₃(x+2)/2 = 2. Înmulțim cu 2: 2log₃(x) + log₃(x+2) = 4 ⇒ log₃(x²) + log₃(x+2) = 4 ⇒ log₃[x²(x+2)] = 4 ⇒ x²(x+2) = 3⁴ = 81.
- 4 Solutie x³ + 2x² - 81 = 0. Prin verificare, x = 3 este soluție (3 > 0).
Verifică mereu condițiile de existență înainte de a finaliza soluția.