Matematică Algebră
Ecuatii diferentiale liniare de ordin 1
Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul 1 au forma y' + P(x)y = Q(x) și se rezolvă cu metoda factorului integrant. Soluția generală include o constantă arbitrară C.
Metoda de rezolvare
- 1 Identifică P(x) și Q(x) Scrie ecuația sub forma standard: y' + P(x)y = Q(x).
- 2 Calculează factorul integrant μ(x) = e^(∫P(x)dx). Acesta este o funcție care multiplică ecuația.
- 3 Înmulțește ecuația Ecuația devine: (μ(x)y)' = μ(x)Q(x).
- 4 Integrează Integrează ambii membri: μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C.
- 5 Izolează y y = [∫μ(x)Q(x)dx + C] / μ(x).
Exemplu numeric
- 1 Ecuația: y' + 2y = e^x Aici P(x)=2, Q(x)=e^x.
- 2 Factorul integrant μ(x) = e^(∫2dx) = e^(2x).
- 3 Înmulțește e^(2x)y' + 2e^(2x)y = e^(2x)*e^x = e^(3x).
- 4 Integrează (e^(2x)y)' = e^(3x) ⇒ e^(2x)y = ∫e^(3x)dx = (1/3)e^(3x) + C.
- 5 Soluția y = [(1/3)e^(3x) + C] / e^(2x) = (1/3)e^x + Ce^(-2x).
Verifică întotdeauna soluția prin derivare și înlocuire în ecuația inițială.