Matematică Algebră
Ecuatii cu modul exercitii rezolvate
Ecuațiile cu modul conțin expresii de forma |f(x)|=g(x). Se rezolvă prin eliminarea modulului, considerând două cazuri: f(x)≥0 și f(x)<0. Soluțiile trebuie verificate în ecuația inițială.
Metode de rezolvare
- Definiția modulului |a|=a dacă a≥0, |a|=-a dacă a<0. Aplicați această definiție expresiei din modul.
- Cazuri de studiat Pentru |f(x)|=g(x), rezolvați f(x)=g(x) pentru f(x)≥0 și -f(x)=g(x) pentru f(x)<0.
- Verificare obligatorie Fiecare soluție obținută trebuie înlocuită în ecuația inițială, deoarece transformările pot introduce soluții străine.
Exercițiu rezolvat pas cu pas
- 1 Enunț Rezolvați: |2x-1| = x+3.
- 2 Cazul 1: 2x-1≥0 Adică x≥0.5. Ecuația devine 2x-1=x+3 ⇒ x=4. Verificare: x=4≥0.5, corect.
- 3 Cazul 2: 2x-1<0 Adică x<0.5. Ecuația devine -(2x-1)=x+3 ⇒ -2x+1=x+3 ⇒ -3x=2 ⇒ x=-2/3. Verificare: x=-2/3<0.5, corect.
- 4 Verificare în ecuația inițială Pentru x=4: |8-1|=7, 4+3=7, egal. Pentru x=-2/3: |-4/3-1|=|-7/3|=7/3, -2/3+3=7/3, egal.
- 5 Soluții finale Mulțimea soluțiilor: S={-2/3, 4}.
Rezolvați |x-2|=3: cazurile x-2=3 și -(x-2)=3 dau x=5 și x=-1.