Matematică Algebră
Ecuatia tangentei la cerc
Ecuația tangentei la cerc este o dreaptă care atinge cercul într-un singur punct, numit punct de tangență. Pentru un cerc cu centrul C(a,b) și rază r, tangenta în punctul M₀(x₀,y₀) de pe cerc are ecuația (x₀-a)(x-a) + (y₀-b)(y-b) = r². Aceasta rezultă din faptul că raza CM₀ este perpendiculară pe tangentă.
Forme ale ecuației tangentei
- Ecuația tangentei la cerc dat prin ecuația generală Pentru cercul x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0, tangenta în M₀(x₀,y₀) este xx₀ + yy₀ + m(x+x₀) + n(y+y₀) + p = 0.
- Condiția de tangență O dreaptă de ecuație y = mx + n este tangentă la cerc dacă distanța de la centrul cercului la dreaptă este egală cu raza r.
- Tangente dintr-un punct exterior Dacă punctul P(x₁,y₁) este exterior cercului, se pot determina două tangente prin rezolvarea sistemului dintre ecuația cercului și condiția de tangență.
Exemplu numeric
- 1 Datele problemei Cercul are ecuația (x-2)² + (y+1)² = 9. Să se scrie ecuația tangentei în punctul M₀(5, -1) de pe cerc.
- 2 Identificarea elementelor Centrul C(2, -1), raza r = 3, punctul M₀(5, -1) verifică ecuația cercului: (5-2)² + (-1+1)² = 9.
- 3 Aplicarea formulei Folosim (x₀-a)(x-a) + (y₀-b)(y-b) = r². Aici x₀=5, y₀=-1, a=2, b=-1, r=3. Obținem (5-2)(x-2) + (-1+1)(y+1) = 9 → 3(x-2) = 9 → x-2 = 3 → x = 5.
Verifică întotdeauna că punctul de tangență aparține cercului înainte de a aplica formula.