Matematică Algebră
Ecuatia planului in spatiu
Ecuația planului în spațiu descrie mulțimea punctelor P(x,y,z) care se află într-un plan. Forma generală este ax + by + cz + d = 0, unde a, b, c sunt coeficienții normali, iar d este termenul liber. Această ecuație poate fi dedusă din condiția ca vectorul normal la plan să fie perpendicular pe orice vector din plan.
Forme ale ecuației planului
- Ecuația generală ax + by + cz + d = 0, cu a, b, c, d ∈ ℝ și (a,b,c) ≠ (0,0,0). Vectorul normal este n⃗ = (a,b,c).
- Ecuația planului determinat de un punct și un vector normal Dacă planul trece prin punctul M₀(x₀,y₀,z₀) și are normala n⃗ = (a,b,c), ecuația este a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0.
- Ecuația planului prin trei puncte necoliniare Pentru punctele A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃), ecuația se obține din condiția det(AP⃗, AB⃗, AC⃗) = 0, unde P(x,y,z) este un punct curent.
Exemplu numeric
- 1 Datele problemei Să se scrie ecuația planului care trece prin punctul M(1,2,3) și are vectorul normal n⃗ = (2,-1,4).
- 2 Aplicarea formulei Folosim ecuația a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0. Aici a=2, b=-1, c=4, x₀=1, y₀=2, z₀=3.
- 3 Calculul final 2(x-1) -1(y-2) + 4(z-3) = 0 → 2x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0 → 2x - y + 4z - 12 = 0.
Pentru a verifica dacă un punct aparține planului, înlocuiește coordonatele sale în ecuația generală.