Matematică Algebră
Ecuatia cercului in plan forme
Ecuația cercului în plan descrie mulțimea punctelor (x, y) la o distanță constantă (raza) de un punct fix (centrul cercului). Cea mai comună formă este (x - a)² + (y - b)² = r², unde (a, b) este centrul și r este raza.
Forme ale ecuației cercului
- Forma canonică (x - a)² + (y - b)² = r², cu centrul C(a, b) și raza r > 0.
- Forma generală x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0, unde centrul este C(-m, -n) și raza r = √(m² + n² - p), cu condiția m² + n² - p > 0.
- Exemplu numeric Cercul cu centrul (2, -1) și raza 3 are ecuația (x - 2)² + (y + 1)² = 9.
Aplicații și determinare
- Determinarea centrului și razei Pentru ecuația x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0, completează pătratele: (x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = -9 + 4 + 9 → (x-2)² + (y+3)² = 4, deci centrul (2, -3), raza 2.
- Poziția unui punct față de cerc Un punct P(x₀, y₀) este interior dacă (x₀ - a)² + (y₀ - b)² < r², exterior dacă >, și pe cerc dacă =.
- Tangenta la cerc Tangenta în punctul P(x₀, y₀) pe cerc are ecuația (x₀ - a)(x - a) + (y₀ - b)(y - b) = r².
Pentru a transforma din forma generală în canonică, folosește completarea pătratelor.