Matematică Algebră
Ecuatia cercului in plan exercitii
Ecuația cercului în plan descrie mulțimea punctelor egal depărtate de un centru fix. Forma generală este (x - a)² + (y - b)² = r², unde (a,b) este centrul și r raza.
Forme ale ecuației
- Forma canonică (x - a)² + (y - b)² = r². Exemplu: (x - 2)² + (y + 1)² = 9 are centrul (2, -1) și raza 3.
- Forma generală x² + y² + mx + ny + p = 0. Pentru a obține centrul și raza, completezi pătratele: a = -m/2, b = -n/2, r = √(a² + b² - p).
- Condiția de cerc În forma generală, trebuie ca a² + b² - p > 0 pentru ca raza să fie reală și pozitivă.
Exerciții tipice
- 1 Pasul 1: Determină centrul și raza Dată ecuația x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. Grupează termenii: (x² - 4x) + (y² + 6y) = 3.
- 2 Pasul 2: Completează pătratele x² - 4x = (x - 2)² - 4. y² + 6y = (y + 3)² - 9. Înlocuiește: (x-2)² - 4 + (y+3)² - 9 = 3 => (x-2)² + (y+3)² = 16.
- 3 Pasul 3: Identifică elementele Centrul: (2, -3). Raza: r = √16 = 4.
Aplicații practice
- Poziția unui punct față de cerc Pentru un punct P(x0,y0), calculează (x0 - a)² + (y0 - b)². Dacă < r², punctul este interior; = r², pe cerc; > r², exterior.
- Distanța dintre centre Pentru două cercuri cu centrele C1(a1,b1) și C2(a2,b2), distanța d = √((a2-a1)² + (b2-b1)²). Compară cu sumă sau diferența razelor pentru poziție relativă.
Verifică întotdeauna condiția razei reale când lucrezi cu forma generală a ecuației.