Matematică Algebră
Diagonalizarea matricelor exercitii clasa 11
Diagonalizarea unei matrice pătrate A înseamnă a găsi o matrice diagonală D și o matrice inversabilă P astfel încât A = PDP⁻¹. În clasa a 11-a, exercițiile se concentrează pe matrice de ordin 2 sau 3 cu elemente reale. Procesul necesită găsirea valorilor proprii și vectorilor proprii.
Pași pentru diagonalizare
- 1 Calculează valorile proprii Rezolvă ecuația caracteristică det(A - λI) = 0. Exemplu: A = [[2,1],[1,2]] → det([[2-λ,1],[1,2-λ]]) = (2-λ)² - 1 = 0 → λ₁=1, λ₂=3.
- 2 Găsește vectorii proprii Pentru fiecare λ, rezolvă sistemul (A - λI)v = 0. Pentru λ₁=1: [[1,1],[1,1]]v=0 → v₁ = (1,-1); pentru λ₂=3: [[-1,1],[1,-1]]v=0 → v₂ = (1,1).
- 3 Construiește matricele P și D P are pe coloane vectorii proprii: P = [[1,1],[-1,1]]. D are pe diagonală valorile proprii: D = [[1,0],[0,3]]. Verifică: A = PDP⁻¹.
Condiții și exemple
- Când o matrice este diagonalizabilă Dacă are n vectori proprii liniar independenți pentru o matrice n×n. Exemplu: matrice simetrice sunt întotdeauna diagonalizabile.
- Exercițiu tipic Diagonalizează A = [[4,1],[2,3]]. Valorile proprii: λ² - 7λ + 10 = 0 → λ₁=2, λ₂=5. Vectorii: pentru λ₁=2, v₁=(1,-2); pentru λ₂=5, v₂=(1,1). P = [[1,1],[-2,1]], D = [[2,0],[0,5]].
- Aplicații practice Diagonalizarea simplifică ridicarea la putere a matricelor: Aⁿ = PDⁿP⁻¹, unde Dⁿ se calculează ușor.
Verifică întotdeauna independența liniară a vectorilor proprii pentru a evita erori în diagonalizare.