Matematică Algebră
Derivate de functii compuse formule si exercitii
Derivata unei funcții compuse f(g(x)) se calculează folosind regula lanțului: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x). Această formulă spune că derivata funcției exterioare evaluată în funcția interioară se înmulțește cu derivata funcției interioare. Este esențială pentru derivarea funcțiilor complexe formate din compunerea altor funcții.
Formule și exemple de bază
- Regula lanțului generală Dacă y = f(u) și u = g(x), atunci dy/dx = (dy/du) * (du/dx). Exemplu: pentru y = sin(x^2), f(u)=sin u, u=x^2, deci derivata este cos(x^2) * 2x.
- Derivate compuse frecvente (e^(g(x)))' = e^(g(x)) * g'(x); (ln(g(x)))' = (1/g(x)) * g'(x); ((g(x))^n)' = n*(g(x))^(n-1) * g'(x).
- Compuneri multiple Pentru f(g(h(x))), derivata este f'(g(h(x))) * g'(h(x)) * h'(x). Exemplu: derivata lui sin(cos(x)) este cos(cos(x)) * (-sin(x)).
- Exemplu numeric simplu Fie f(x) = (3x+1)^4. Atunci f'(x) = 4*(3x+1)^3 * 3 = 12*(3x+1)^3.
Pași pentru rezolvarea exercițiilor
- 1 Pasul 1: Identifică funcțiile interioară și exterioară Stabilește care parte este g(x) (interioară) și care este f(u) (exterioară). De ex., pentru √(x^2+1), g(x)=x^2+1, f(u)=√u.
- 2 Pasul 2: Calculează derivatele separate Găsește f'(u) și g'(x). Pentru √u, f'(u)=1/(2√u); pentru x^2+1, g'(x)=2x.
- 3 Pasul 3: Aplică regula lanțului Înmulțește f'(g(x)) cu g'(x). Pentru √(x^2+1), derivata este (1/(2√(x^2+1))) * 2x = x/√(x^2+1).
- 4 Pasul 4: Simplifică rezultatul Redu expresia la cea mai simplă formă. Verifică domeniul de definiție dacă e necesar (de ex., pentru logaritmi).
Exersează identificarea rapidă a funcției interioare; uneori este util să notezi u = g(x) pentru a evita greșelile în aplicarea regulii lanțului.