Matematică Algebră
Continuitatea unei functii definitie si exemple
O funcție f este continuă într-un punct a dacă limita funcției în a există și este egală cu valoarea funcției în acel punct: lim(x→a) f(x) = f(a). Aceasta înseamnă că graficul funcției nu are întreruperi sau salturi în punctul a.
Definiție formală
- Condiția de continuitate f este continuă în a dacă: 1) f(a) este definită, 2) lim(x→a) f(x) există, 3) lim(x→a) f(x) = f(a).
- Continuitate pe un interval O funcție este continuă pe un interval dacă este continuă în fiecare punct al intervalului.
- Exemple de funcții continue Funcțiile polinomiale, raționale (cu numitor nenul), exponențiale și trigonometrice sunt continue pe domeniile lor.
Exemple și contraexemple
- Exemplu: funcție continuă f(x)=x² este continuă în orice punct, de exemplu în a=2: lim(x→2) x² = 4 și f(2)=4.
- Contraexemplu: discontinuitate f(x)=1/x nu este continuă în a=0 deoarece f(0) nu este definită și limita nu există.
- Exemplu cu funcție definită pe porțiuni Fie f(x) = { x+1, dacă x≤0; x², dacă x>0 }. În a=0, lim(x→0⁻) f(x)=1, lim(x→0⁺) f(x)=0, deci nu este continuă.
Pentru a verifica continuitatea, calculează mai întâi f(a), apoi limitele laterale; dacă coincid, funcția este continuă.