Matematică Algebră
Calcul cu numere complexe in forma polara
Calculul cu numere complexe în formă polară înseamnă a lucra cu numere complexe exprimate prin modul și argument. Forma polară este z = r(cosθ + i sinθ), unde r este modulul și θ argumentul. Această formă simplifică operațiile de înmulțire, împărțire și ridicare la putere.
Operații de bază în formă polară
- Înmulțirea Pentru z₁ = r₁(cosθ₁ + i sinθ₁) și z₂ = r₂(cosθ₂ + i sinθ₂), produsul este z₁·z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]. Modulul se înmulțește, argumentele se adună.
- Împărțirea Câtul este z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(θ₁-θ₂) + i sin(θ₁-θ₂)], cu r₂ ≠ 0. Modulul se împarte, argumentele se scad.
- Ridicarea la putere Formula lui Moivre: zⁿ = rⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)], pentru n număr natural. Exemplu: dacă z = 2(cos30° + i sin30°) și n=3, atunci z³ = 8(cos90° + i sin90°) = 8i.
Exemplu numeric
- 1 Date inițiale Fie z₁ = 1 + i și z₂ = √3 - i. Transformă-le în formă polară: z₁ are modulul √2 și argumentul 45°, z₂ are modulul 2 și argumentul -30°.
- 2 Calculează z₁·z₂ z₁·z₂ = (√2·2)[cos(45° + (-30°)) + i sin(15°)] = 2√2(cos15° + i sin15°).
- 3 Verificare În formă algebrică: (1+i)(√3-i) = √3 - i + i√3 - i² = √3 + 1 + i(√3 - 1). Transformând în polară dă același rezultat.
Folosește forma polară pentru calcule repetitive cu numere complexe, ea economisește timp.