Matematică Algebră
Bacalaureat matrice si sisteme ecuatii liniare cu aplicatii
La Bacalaureat, exercițiile cu matrice și sisteme de ecuații liniare cu aplicații pot implica rezolvarea unor probleme practice, cum ar fi determinarea unor cantități din economie sau fizică. De exemplu, un sistem poate reprezenta balanța unor resurse sau ecuații de mișcare.
Problema aplicativă rezolvată
- 1 Enunț Trei produse A, B, C au costurile unitare necunoscute x, y, z. Se cumpără 2A + 3B + 1C cu 10 lei, 1A + 2B + 3C cu 15 lei, 3A + 1B + 2C cu 12 lei. Determină x, y, z.
- 2 Pasul 1: Scrie sistemul de ecuații 2x + 3y + z = 10, x + 2y + 3z = 15, 3x + y + 2z = 12.
- 3 Pasul 2: Scrie matricea extinsă [[2, 3, 1 | 10], [1, 2, 3 | 15], [3, 1, 2 | 12]].
- 4 Pasul 3: Rezolvă sistemul Folosește metoda Gauss sau Cramer. Calculând determinantul matricei coeficienților: det = 2·(2·2 - 3·1) - 3·(1·2 - 3·3) + 1·(1·1 - 2·3) = 2·(4-3) - 3·(2-9) + 1·(1-6) = 2·1 - 3·(-7) + 1·(-5) = 2 + 21 - 5 = 18 ≠ 0, deci sistemul are soluție unică.
- 5 Pasul 4: Calculează soluțiile Folosind regula lui Cramer: x = det_x/det, unde det_x se obține înlocuind prima coloană cu termenii liberi. Calculează similar pentru y și z. Rezultă x = 1, y = 2, z = 3.
Aplicații practice
- Economie Sistemele pot modela balanța bugetară sau costurile de producție.
- Fizică Ecuațiile pot reprezenta legile lui Kirchhoff pentru circuite electrice.
- Inginerie Matricele sunt folosite în analiza structurilor sau a rețelelor.
Exersează transformarea problemelor practice în ecuații matematice clare.