Matematică Algebră
Aria sub graficul unei functii integrale clasa 12
Aria sub graficul unei funcții se calculează cu integrale definite, reprezentând suma ariilor infinitezimale. Această aplicație a integralei este fundamentală în analiza matematică. Vom explica metoda și vom rezolva un exemplu concret.
Baze teoretice
- Definiție Aria dintre graficul funcției f(x), axa Ox și dreptele x=a, x=b este A = ∫[a,b] |f(x)| dx. Dacă f(x)≥0 pe [a,b], atunci A = ∫[a,b] f(x) dx.
- Metodă de calcul 1. Identifică intervalul [a,b]. 2. Determină semnul lui f(x) pe interval. 3. Calculează integrala, împărțind intervalul dacă f(x) schimbă semnul. Exemplu: Aria sub f(x)=x² pe [0,2] este ∫[0,2] x² dx.
- Formula integrală ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, pentru n ≠ -1. Pentru f(x)=x², o primitivă este F(x)=x³/3.
Exercițiu rezolvat
- 1 Enunț Calculează aria delimitată de f(x)=x³ - 4x, axa Ox și dreptele x=0, x=3.
- 2 Semnul funcției f(x)=x(x-2)(x+2). Pe [0,3]: f(x)≥0 pe [2,3] și f(x)≤0 pe [0,2]. Aria totală = ∫[0,2] |f(x)| dx + ∫[2,3] f(x) dx.
- 3 Calcul integrale ∫(x³-4x)dx = x⁴/4 - 2x². Pe [0,2]: A₁ = -∫[0,2](x³-4x)dx = -[ (16/4-8) - (0) ] = -[4-8] = 4. Pe [2,3]: A₂ = [ (81/4-18) - (4-8) ] = [20.25-18 - (-4)] = 6.25.
- 4 Aria totală A = A₁ + A₂ = 4 + 6.25 = 10.25 unități pătrate.
Întotdeauna analizează semnul funcției pentru a evita erorile la calculul ariei.